Investigue a convergência das seguintes sequências utilizando o limite do termo geral. Se convergir, determine o valor do limite.
a_{n}=\frac{3 n^{2}-2 n+5}{2 n^{2}+n-1}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da sequência
a_{n}=\frac{3n^{2}-2n+5}{2n^{2}+n-1}
usando o limite do termo geral. O conteúdo aqui é limite de sequências definidas por quociente de polinômios. Para resolver, vamos dividir numerador e denominador pelo maior grau de n, que é n^{2}.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por n^{2}, obtendo
a_{n} =\frac{\frac{3n^{2}}{n^{2}}-\frac{2n}{n^{2}}+\frac{5}{n^{2}}} {\frac{2n^{2}}{n^{2}}+\frac{n}{n^{2}}-\frac{1}{n^{2}}} =\frac{3-\frac{2}{n}+\frac{5}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}}.

Passo 3

Observamos que, quando n\to\infty, \tfrac{2}{n}\to0, \tfrac{5}{n^{2}}\to0, \tfrac{1}{n}\to0 e \tfrac{1}{n^{2}}\to0. Logo, no limite restam apenas os termos constantes.

Passo 4

Portanto
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\frac{3-0+0}{2+0-0} =\frac{3}{2}.
Isso mostra que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\frac{3}{2}.

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