Determine se a sequência \left\{a_{n}\right\} converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite:
a_{n}=\sum_{i=0}^{n} t^{i}, 0<t<1

Passo 1

O enunciado define a sequência
\displaystyle a_{n} = \sum_{i=0}^{n} t^{i}
com 0 < t < 1, e pede para determinar se \{a_{n}\} converge ou diverge, e em caso de convergência encontrar o limite. O conteúdo principal aqui é soma de progressão geométrica e cálculo de limite de sequência.

Passo 2

Para somar a progressão geométrica, note que
a_{n} = 1 + t + t^{2} + \cdots + t^{n}.
Multiplicando ambos os lados por (1 - t) obtemos
(1 - t)\,a_{n} = (1 + t + \cdots + t^{n}) - (t + t^{2} + \cdots + t^{n+1}) = 1 - t^{\,n+1}.
Logo, para todo n,
a_{n} = \frac{1 - t^{\,n+1}}{1 - t}.

Passo 3

Agora estudamos o limite quando n \to \infty. Como 0 < t < 1, temos
\lim_{n\to\infty} t^{\,n+1} = 0.
Portanto
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1 - t^{\,n+1}}{1 - t} = \frac{1 - 0}{1 - t} = \frac{1}{1 - t}.

Passo 4

Concluímos que a sequência \{a_{n}\} converge e seu limite é
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \frac{1}{1 - t}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \frac{1}{1 - t}.

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