Determine se a sequência \left\{a_{n}\right\} converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite:
a_{n}=\frac{2+5 n^{2}}{n+n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar o comportamento da sequência
a_{n}=\frac{2+5n^{2}}{n+n^{2}}
quando n\to\infty. O conteúdo envolve limites de sequências definidas por quocientes de polinômios. Vamos usar a ideia de comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador para encontrar o limite.

Passo 2

Para isolar os termos de maior grau, divido numerador e denominador por n^{2}:
a_{n} = \frac{2+5n^{2}}{n+n^{2}} = \frac{\frac{2}{n^{2}} + 5}{\frac{n}{n^{2}} + 1} = \frac{\frac{2}{n^{2}} + 5}{\frac{1}{n} + 1}.

Passo 3

Agora tomo o limite quando n\to\infty. Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^{2}} = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0.
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\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{0 + 5}{0 + 1} = 5.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 5.

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