É verdadeiro ou falso?
(i) Se \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} é convergente, então \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} é monótona.

Passo 1

O enunciado pergunta se vale a afirmação: “Se uma sequência \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty} converge, então ela é monótona.” O conteúdo é análise de sequências, em particular as noções de convergência e de monotonicidade.

Passo 2

Definimos:
– A sequência \{a_{n}\} converge para L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que \lvert a_{n}-L\rvert<\varepsilon para todo n\ge N.
– A sequência é monótona crescente se a_{n+1}\ge a_{n} para todo n, e monótona decrescente se a_{n+1}\le a_{n} para todo n.

Passo 3

Basta apresentar um contraexemplo de sequência convergente que não seja monotônica. Considere
a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}.
Essa sequência satisfaz \lim_{n\to\infty}a_{n}=0, mas não é monótona porque alterna sinal:
a_{1}=-1,\;a_{2}=\tfrac12,\;a_{3}=-\tfrac13,\;a_{4}=\tfrac14,\;\dots
Logo, não existe uma ordem fixa a_{n+1}\ge a_{n} nem a_{n+1}\le a_{n} para todos os n.

Passo 4

Como encontramos uma sequência convergente que não é monótona, a afirmação é falsa.

Resposta

Falso.

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