É verdadeiro ou falso?
(i) Se
é convergente, então
é monótona.
(i) Se
Passo 1
O enunciado pergunta se vale a afirmação: “Se uma sequência
converge, então ela é monótona.” O conteúdo é análise de sequências, em particular as noções de convergência e de monotonicidade.
Passo 2
Definimos:
– A sequência converge para
se, para todo
, existe
tal que
para todo
.
– A sequência é monótona crescente se para todo
, e monótona decrescente se
para todo
.
– A sequência
– A sequência é monótona crescente se
Passo 3
Basta apresentar um contraexemplo de sequência convergente que não seja monotônica. Considere
Essa sequência satisfaz
, mas não é monótona porque alterna sinal:
Logo, não existe uma ordem fixa
nem
para todos os
.
Passo 4
Como encontramos uma sequência convergente que não é monótona, a afirmação é falsa.
Resposta
Falso.