Determine se a sequência a_{n}=\cos \left(\frac{\pi n}{2}\right) converge. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi n}{2}\bigr)
e pede para decidir se ela converge ou não. Para isso vamos usar a definição de convergência de sequência e explorar o fato de que o cosseno é uma função periódica de período 2\pi.

Passo 2

Como \cos(x) tem período 2\pi, a sequência será periódica de período mínimo 4 em n, pois
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi (n+4)}{2}\bigr) = \cos\!\Bigl(\tfrac{\pi n}{2} + 2\pi\Bigr) = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi n}{2}\bigr).
Vamos então calcular os quatro primeiros termos genéricos:
a_{4k} = \cos(2\pi k) = 1, \quad a_{4k+1} = \cos\!\bigl(2\pi k + \tfrac{\pi}{2}\bigr) = 0,
a_{4k+2} = \cos\!\bigl(2\pi k + \pi\bigr) = -1, \quad a_{4k+3} = \cos\!\bigl(2\pi k + \tfrac{3\pi}{2}\bigr) = 0.

Passo 3

Para mostrar que não há limite único, basta encontrar duas subsequências com limites diferentes. Por exemplo:
\text{se }n=4k,\text{ então }a_{4k}=1\implies\lim_{k\to\infty}a_{4k}=1,ã
\text{se }n=4k+2,\text{ então }a_{4k+2}=-1\implies\lim_{k\to\infty}a_{4k+2}=-1.ã
Como 1 \neq -1, não pode existir um único L tal que \lim_{n\to\infty}a_{n}=L.

Passo 4

Pela definição de convergência, se \lim_{n\to\infty}a_{n}=L existisse, todas as suas subsequências deveriam convergir para o mesmo L. Aqui encontramos subsequências com limites distintos, logo não há convergência.

Resposta

A sequência \bigl(a_{n}\bigr) não converge.

Exercícios relacionados