Determine se a sequência
converge. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para decidir se ela converge ou não. Para isso vamos usar a definição de convergência de sequência e explorar o fato de que o cosseno é uma função periódica de período
.
Passo 2
Como
tem período
, a sequência será periódica de período mínimo
em
, pois
Vamos então calcular os quatro primeiros termos genéricos:
Passo 3
Para mostrar que não há limite único, basta encontrar duas subsequências com limites diferentes. Por exemplo:
Como
, não pode existir um único
tal que
.
Passo 4
Pela definição de convergência, se
existisse, todas as suas subsequências deveriam convergir para o mesmo
. Aqui encontramos subsequências com limites distintos, logo não há convergência.
Resposta
A sequência
não converge.