Sejam a_{n}=\frac{1}{n} e b_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}. Mostre que ambas são convergentes e compare seus limites.
Passo 1
O enunciado define duas sequências \displaystyle a_{n} = \frac{1}{n} e \displaystyle b_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n},
e pede para mostrar que ambas são convergentes e comparar seus limites. O conteúdo aqui é limites de sequências e uso da definição de convergência (ou do Teorema do Confronto) para provar que o limite é zero.
Passo 2
Mostrando que \displaystyle a_{n}=\tfrac1n converge para zero.
Seja \epsilon>0. Queremos N tal que, para todo n>N, valha \bigl|a_{n}-0\bigr| = \bigl|\tfrac1n\bigr| < \epsilon.
Como \tfrac1n<\epsilon sempre que n>\tfrac1\epsilon, basta escolher \displaystyle N=\Bigl\lceil\frac1\epsilon\Bigr\rceil.
Então, para todo n>N, temos \lvert a_{n}-0\rvert<\epsilon, logo \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Passo 3
Mostrando que \displaystyle b_{n}=\tfrac{(-1)^{n}}{n} converge para zero.
Note que \displaystyle \bigl|b_{n}-0\bigr| = \bigl|\tfrac{(-1)^{n}}{n}\bigr| = \tfrac1n.
Como já vimos que \tfrac1n\to0, vale pelo Teorema do Confronto que \displaystyle b_{n}\to0. Em outras palavras, para cada \epsilon>0 podemos usar o mesmo N do passo anterior para garantir \lvert b_{n}-0\rvert<\epsilon sempre que n>N. Logo \displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}=0.