Mostre que a sequência a_{n}=\frac{2 n+3}{5 n+1} é convergente e determine seu limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por
a_n = \frac{2n + 3}{5n + 1}
e pede para mostrar que ela é convergente, determinando \lim_{n\to\infty}a_n. Vamos usar a propriedade de limites de sequências racionais de primeiro grau.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por n, obtendo
a_n = \frac{2 + \tfrac{3}{n}}{5 + \tfrac{1}{n}}.

Passo 3

Quando n\to\infty, tem-se \tfrac{3}{n}\to 0 e \tfrac{1}{n}\to 0. Pelo teorema do quociente de limites:
\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{\lim_{n\to\infty}\bigl(2 + \tfrac{3}{n}\bigr)}{\lim_{n\to\infty}\bigl(5 + \tfrac{1}{n}\bigr)} = \frac{2}{5}.
Logo, o limite existe e vale \tfrac{2}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}

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