Determine a sequência an, onde:
tildea(z)=z(z+1)(z-1)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função geratriz tilde a(z) definida por
tilde a(z)=z(z+1)(z-1)^2
e pede os coeficientes da série de potências
tilde a(z)=sumn=0^infty an z^n.
O conteúdo aqui é expansão de série de potências usando a fórmula de 1(1-z)^2.

Passo 2

Reescrevemos tilde a(z) em termos de (1-z) para usar uma expansão padrão:
tilde a(z) =z(z+1)(z-1)^2 =z(z+1)(1-z)^2

Passo 3

Usamos a expansão conhecida
1(1-z)^2=sumn=0^infty(n+1)z^n
Multiplicando termo a termo, obtemos
z(1-z)^2=sumn=0^infty(n+1)z^n+1 =sumn=1^infty n,z^n,
z^2(1-z)^2=sumn=0^infty(n+1)z^n+2 =sumn=2^infty(n-1)z^n

Passo 4

Somando as duas expansões:
tilde a(z) =sumn=1^infty n,z^n +sumn=2^infty(n-1)z^n =sumn=1^infty(2n-1),z^n
Logo, o coeficiente geral é a0=0 e para n>=1:
an=2n-1

Resposta

a0=0, e para n>=1 vale an=2n-1.

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