Verifique que a aplicação X(u, v)=(u+v, 2(u+v), u),(u, v) in R^2 é uma superfície parametrizada. Descreva o traço de X da forma S=(x, y, z) in R^3 : F(x, y, z)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a aplicação X(u, v) = (u+v, 2(u+v), u) é uma superfície parametrizada. Depois, vamos descrever essa superfície na forma S = (x, y, z) in R^3 : F(x, y, z) = 0 . Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e manipulação de equações matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma superfície parametrizada. Basicamente, é uma maneira de descrever uma superfície no espaço tridimensional usando dois parâmetros, aqui u e v . A gente tem que mostrar que, para cada par (u, v), a aplicação X(u, v) dá um ponto único na superfície.

Passo 3

Vamos dar uma olhada na aplicação X(u, v) = (u+v, 2(u+v), u) . Isso significa que:
x = u + v
y = 2(u + v)
z = u
Essa parametrização usa u e v para gerar qualquer ponto (x, y, z) na superfície.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma relação entre x , y e z que descreva essa superfície. Já que z = u , podemos substituir u por z nas outras equações:
x = z + v
y = 2(z + v)
Da primeira equação, isolamos v :
v = x - z

Passo 5

Substituindo v = x - z na segunda equação:
y = 2(z + (x - z)) = 2x
Então, temos que y = 2x .

Passo 6

A gente quer expressar a superfície na forma F(x, y, z) = 0 . Da relação que encontramos, y = 2x , podemos escrever:
y - 2x = 0
Isso significa que a superfície é um plano onde a coordenada y é sempre o dobro da coordenada x , independente de z .

Resposta

A superfície parametrizada é o plano definido por F(x, y, z) = y - 2x = 0 .

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