Verifique que a aplicação
é uma superfície parametrizada. Descreva o traço de
da forma
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a aplicação
é uma superfície parametrizada. Depois, vamos descrever essa superfície na forma
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e manipulação de equações matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma superfície parametrizada. Basicamente, é uma maneira de descrever uma superfície no espaço tridimensional usando dois parâmetros, aqui
e
. A gente tem que mostrar que, para cada par
, a aplicação
dá um ponto único na superfície.
Passo 3
Vamos dar uma olhada na aplicação
. Isso significa que:
Essa parametrização usa
e
para gerar qualquer ponto
na superfície.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma relação entre
,
e
que descreva essa superfície. Já que
, podemos substituir
por
nas outras equações:
Da primeira equação, isolamos
:
Passo 5
Substituindo
na segunda equação:
Então, temos que
.
Passo 6
A gente quer expressar a superfície na forma
. Da relação que encontramos,
, podemos escrever:
Isso significa que a superfície é um plano onde a coordenada
é sempre o dobro da coordenada
, independente de
.
Resposta
A superfície parametrizada é o plano definido por
.