Verifique que a aplicação X(u, v)=(0, u, v),(u, v) in R^2 é uma superfície parametrizada. Descreva o traço de X da forma S=(x, y, z) in R^3 : F(x, y, z)=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma aplicação X(u, v) = (0, u, v) , onde u e v são números reais. A primeira parte do exercício quer que a gente verifique se essa aplicação é uma superfície parametrizada. Depois, precisamos descrever o conjunto de pontos dessa superfície na forma S = (x, y, z) in R^3 : F(x, y, z) = 0 .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma superfície parametrizada e como transformar essa parametrização em uma equação explícita. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície parametrizada. Basicamente, é uma maneira de descrever uma superfície no espaço tridimensional usando duas variáveis livres, que no nosso caso são u e v . A aplicação X(u, v) = (0, u, v) está mapeando cada par (u, v) para um ponto no espaço R^3.
Para verificar se X(u, v) realmente define uma superfície, precisamos checar se ela é suave e se a sua derivada tem posto máximo (que, para uma superfície, é 2). Vamos calcular as derivadas parciais de X em relação a u e v :
Xu = partial Xpartial u = (0, 1, 0)
Xv = partial Xpartial v = (0, 0, 1)
Agora, formamos a matriz jacobiana com essas derivadas:
JX = 0 & 0 1 & 0 0 & 1
O posto dessa matriz é 2 (já que as duas colunas são lineares independentes), o que confirma que a aplicação X(u, v) é uma superfície parametrizada.

Passo 3

Agora que sabemos que X(u, v) é uma superfície, vamos descrever o conjunto de pontos S dessa superfície na forma S = (x, y, z) in R^3 : F(x, y, z) = 0 .
Olha só a parametrização X(u, v) = (0, u, v) . Isso significa que para qualquer u e v , o ponto correspondente tem a coordenada x = 0 . As outras coordenadas y e z podem ser qualquer número real.
Então, todos os pontos da superfície têm a forma (0, y, z) , onde y e z são reais. Isso descreve o plano onde x = 0 no espaço tridimensional.
Para escrever isso na forma pedida, basta notar que a condição para estar nesse plano é x = 0 . Assim, podemos definir F(x, y, z) como:
F(x, y, z) = x
Então, a superfície S é:
S = (x, y, z) in R^3 : x = 0

Resposta

A aplicação X(u, v) = (0, u, v) é uma superfície parametrizada que representa o plano x = 0 no espaço tridimensional. Assim, o traço da superfície pode ser descrito por:
S = (x, y, z) in R^3 : x = 0

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