Verifique que a aplicação é uma superfície parametrizada. Descreva o traço de da forma
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma aplicação , onde e são números reais. A primeira parte do exercício quer que a gente verifique se essa aplicação é uma superfície parametrizada. Depois, precisamos descrever o conjunto de pontos dessa superfície na forma .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma superfície parametrizada e como transformar essa parametrização em uma equação explícita. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície parametrizada. Basicamente, é uma maneira de descrever uma superfície no espaço tridimensional usando duas variáveis livres, que no nosso caso são e . A aplicação está mapeando cada par para um ponto no espaço .
Para verificar se realmente define uma superfície, precisamos checar se ela é suave e se a sua derivada tem posto máximo (que, para uma superfície, é 2). Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Agora, formamos a matriz jacobiana com essas derivadas:
O posto dessa matriz é 2 (já que as duas colunas são lineares independentes), o que confirma que a aplicação X(u, v) é uma superfície parametrizada.
Passo 3
Agora que sabemos que X(u, v) é uma superfície, vamos descrever o conjunto de pontos S dessa superfície na forma S = (x, y, z) in R^3 : F(x, y, z) = 0 .
Olha só a parametrização X(u, v) = (0, u, v) . Isso significa que para qualquer u e v , o ponto correspondente tem a coordenada x = 0 . As outras coordenadas y e z podem ser qualquer número real.
Então, todos os pontos da superfície têm a forma (0, y, z) , onde y e z são reais. Isso descreve o plano onde x = 0 no espaço tridimensional.
Para escrever isso na forma pedida, basta notar que a condição para estar nesse plano é x = 0 . Assim, podemos definir F(x, y, z) como:
F(x, y, z) = x
Então, a superfície S é:
S = (x, y, z) in R^3 : x = 0
Resposta
A aplicação X(u, v) = (0, u, v) é uma superfície parametrizada que representa o plano x = 0 no espaço tridimensional. Assim, o traço da superfície pode ser descrito por: