Determine a sequência an, onde:
tildea(z)=z(z-1)z^2+3 z+2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os coeficientes an da expansão em série de potências de
tildea(z)=sumn>=0anz^n=z(z-1)z^2+3z+2
O conteúdo principal é decompor essa fração racional em séries de potências em torno de z=0.

Passo 2

Como o numerador e o denominador têm o mesmo grau, fazemos a divisão polinomial:
z(z-1)=z^2-z=(z^2+3z+2)-l(4z+2r),
portanto
z(z-1)z^2+3z+2 =1-4z+2z^2+3z+2 =1-4z+2(z+1)(z+2)

Passo 3

Agora decompondo em frações parciais
4z+2(z+1)(z+2) =Az+1+Bz+2,
temos
4z+2=A(z+2)+B(z+1)=(A+B)z+(2A+B)
Igualando coeficientes,
A+B=4, 2A+B=2 Longrightarrow A=-2,;B=6

Passo 4

Portanto
z(z-1)z^2+3z+2 =1-l(-2z+1+6z+2r) =1+2z+1-6z+2

Passo 5

Expandimos cada termo em série de potências de z (válido para |z|<1):
1= sumn>=0cnz^n, c0=1,;cn=0;(n>=1),
2z+1=21+z =2sumn>=0(-1)^nz^n, 6z+2=62(1+z/2) =3sumn>=0(-1)^n2^-nz^n
Como o sinal era negativo no último termo, ele fica
-3sumn>=0(-1)^n2^-nz^n.

Passo 6

Somando as três séries, para n=0 temos
a0=1+2cdot1-3cdot1=0,
e para n>=1
an =0+2(-1)^n-3(-1)^n2^-n =;(-1)^nl(2-tfrac32^nr)

Resposta

a0=0, an=(-1)^nl(2-tfrac32^nr) (n>=1)

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