Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
an=tan (2 n pi1+8 n)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = tangl(2npi1+8ngr).
O conteúdo aqui é limite de sequência composta e a propriedade de continuidade da função tangente em pontos onde ela é finita. Vamos primeiro achar o limite do ângulo 2npi1+8n e depois usar que tan é contínua nesse ponto.

Passo 2

Reescrevendo o argumento de tan em função de n, dividindo numerador e denominador por n:
2npi1+8n = 2pitfrac1n+8

Passo 3

Agora aplicamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty2pitfrac1n+8 = 2pi0+8 = pi4

Passo 4

Como tan(x) é contínua em x=pi/4 (não há assíntota ali), podemos trocar limite e tangente:
limntoinftyan = limntoinftytanl(2npi1+8nr) = tanl(limntoinfty2npi1+8nr) = tanl(tfracpi4r) = 1

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

Exercícios relacionados