• Questão 6: Determine a dimensão do espaço vetorial de todos os polinômios p de grau menos ou igual a 4 tais que p(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço
V = ,pin P4 mid p(1)=0
onde P4 é o espaço de todos os polinômios de grau menor ou igual a 4. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e dimensão; vamos usar que um subespaço definido por uma condição linear tem dimensão reduzida em relação ao espaço original.

Passo 2

Primeiro lembramos que
P4 = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 mid aiinBbb R
tem base típica 1,x,x^2,x^3,x^4. Logo
dim P4 = 5

Passo 3

A condição p(1)=0 é um único vínculo linear sobre os coeficientes de p. Em geral, impor uma equação linear independente em um espaço de dimensão n gera um subespaço de dimensão n-1. Assim, a codimensão é 1.

Passo 4

Uma forma alternativa é notar que p(1)=0 implica que x-1 divide p(x), ou seja
p(x) = (x-1),q(x),
onde q é um polinômio de grau no máximo 3. O espaço de todos esses q é isomorfo a P3, cuja dimensão é 4.

Resposta

A dimensão do espaço procurado é 4.

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