- Questão 6: Determine a dimensão do espaço vetorial de todos os polinômios p de grau menos ou igual a 4 tais que
.
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do subespaço
onde
é o espaço de todos os polinômios de grau menor ou igual a 4. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e dimensão; vamos usar que um subespaço definido por uma condição linear tem dimensão reduzida em relação ao espaço original.
Passo 2
Primeiro lembramos que
tem base típica
. Logo
Passo 3
A condição
é um único vínculo linear sobre os coeficientes de
. Em geral, impor uma equação linear independente em um espaço de dimensão
gera um subespaço de dimensão
. Assim, a codimensão é 1.
Passo 4
Uma forma alternativa é notar que
implica que
divide
, ou seja
onde
é um polinômio de grau no máximo 3. O espaço de todos esses
é isomorfo a
, cuja dimensão é 4.
Resposta
A dimensão do espaço procurado é
.