Use uma integral dupla para determinar a área da região:
A região delimitada pelo cardioide r=4-sen theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares delimitada pela curva
r = 4 - sintheta
O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
A = integral duplaR dA = integraltheta1^theta2integralr=0^r(theta) r,dr,dtheta

Passo 2

Em coordenadas polares, a região varia theta de 0 a 2pi e r vai de 0 até 4-sintheta. Logo
A = integral0^2piintegral0^4-sintheta r,dr,dtheta

Passo 3

Calcule primeiro a integral em r:
integral0^4-sintheta r,dr = [r^22]0^4-sintheta = 12(4-sintheta)^2
Assim
A = 12integral0^2pi(4-sintheta)^2,dtheta

Passo 4

Expanda o quadrado e separe a integral:
(4-sintheta)^2 = 16 - 8sintheta + sin^2theta,
portanto
A = 12l(integral0^2pi16,dtheta -8integral0^2pisintheta,dtheta +integral0^2pisin^2theta,dthetar)

Passo 5

Calcule cada termo:
integral0^2pi16,dtheta = 32pi, integral0^2pisintheta,dtheta = 0, integral0^2pisin^2theta,dtheta = pi

Passo 6

Substituindo,
A = 12l(32pi + pir) = 33pi2

Resposta

33pi2

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