Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
\left(\frac{\ln \sqrt[3]{n}}{n^{3}}\right);

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_n = \frac{\ln\sqrt[3]{n}}{n^3}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo é convergência de sequências numéricas e vamos precisar calcular
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n.

Passo 2

Reescrevemos o numerador usando propriedades do logaritmo:
\ln\sqrt[3]{n} = \ln\bigl(n^{1/3}\bigr) = \tfrac{1}{3}\ln n.
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a_n = \frac{\ln\sqrt[3]{n}}{n^3} = \frac{1}{3}\,\frac{\ln n}{n^3}.

Passo 3

Para determinar
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^3}, usamos o fato de que uma potência n^3 cresce muito mais rápido que \ln n. Em termos gerais, para todo \alpha>0 vale
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^\alpha} = 0.
Aqui \alpha=3, então
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^3}=0.

Passo 4

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\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{1}{3}\,\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^3} = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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