Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
\left(\frac{n+1}{2 n-1}\right);

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a sequência
a_n = \frac{n+1}{2n-1}
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é limite de sequência numérica: calculamos
\displaystyle L = \lim_{n\to\infty}a_n. Se este limite existir e for finito, a sequência converge para L.

Passo 2

Para encontrar \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n-1}, dividimos numerador e denominador por n, o maior termo de grau em n. Assim, escrevemos
\frac{n+1}{2n-1} = \frac{n\bigl(1 + \tfrac{1}{n}\bigr)}{n\bigl(2 - \tfrac{1}{n}\bigr)} = \frac{1 + \tfrac{1}{n}}{2 - \tfrac{1}{n}}.

Passo 3

Ao fazermos n\to\infty, temos \tfrac{1}{n}\to 0. Portanto,
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1 + \tfrac{1}{n}}{2 - \tfrac{1}{n}} = \frac{1 + 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}.

Resposta

A sequência converge e seu limite é
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n-1} = \frac{1}{2}.

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