Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
\left(e^{-n} \ln n\right);

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
a_n = e^{-n}\,\ln n.
O conteúdo principal aqui é comparar crescimentos: o decaimento exponencial e^{-n} versus o crescimento logarítmico \ln n. Vamos estudar
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{e^n}.

Passo 2

Para avaliar
\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{e^n},
lembramos que toda função polinomial (ou logarítmica) cresce muito mais devagar que uma exponencial. Em particular, vale o resultado padrão
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{e^x}=0.

Passo 3

Se o aluno quiser uma justificativa formal, considere a função contínua
f(x) = \frac{\ln x}{e^x},\quad x>0.
Aplicando a regra de l’H^opital em
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{e^x},
temos derivadas do numerador e do denominador:
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}(e^x)=e^x.
Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{e^x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{e^x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x\,e^x}.
Como x\,e^x\to\infty, segue que o quociente vai a 0.

Passo 4

Como a versão contínua tende a zero, a sequência discreta também satisfaz
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.
Portanto a_n converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}e^{-n}\ln n = 0.

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