Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
\left(\frac{e^{2 n}}{n^{4}}\right);

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n} = \frac{e^{2n}}{n^{4}}
e pede para decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é análise de crescimento de sequências, e uma ferramenta eficaz é o teste da razão, que compara o termo a_{n+1} com a_{n}.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão, calculando
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle \frac{e^{2(n+1)}}{(n+1)^{4}}}{\displaystyle \frac{e^{2n}}{n^{4}}} = e^{2}\,\frac{n^{4}}{(n+1)^{4}} = e^{2}\,\biggl(\frac{n}{n+1}\biggr)^{4}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = e^{2}\,\lim_{n\to\infty}\biggl(\frac{n}{n+1}\biggr)^{4} = e^{2}\cdot 1 = e^{2}.
Como e^{2}>1, o teste da razão indica que a_{n} cresce sem limite e, portanto, diverge.

Resposta

A sequência diverge (vai para +\infty).

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