Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
\left(\frac{n!}{(n!)^{3}+1}\right);

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n = \frac{n!}{(n!)^{3} + 1}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Vamos usar noções de limite de sequência e comparação de crescimento de fatoriais.

Passo 2

Reescrevemos a_n destacando o termo dominante no denominador, que é (n!)^3:
a_n = \frac{n!}{(n!)^{3} + 1} = \frac{n!}{(n!)^{3}\Bigl(1 + \frac{1}{(n!)^{3}}\Bigr)} = \frac{1}{(n!)^{2}\,\Bigl(1 + \frac{1}{(n!)^{3}}\Bigr)}.

Passo 3

Como n!\to\infty quando n\to\infty, temos (n!)^{2}\to\infty e também \frac{1}{(n!)^{3}}\to0. Logo,
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n!)^{2}\,\Bigl(1 + \tfrac{1}{(n!)^{3}}\Bigr)} = \frac{1}{\infty\cdot(1+0)} = 0.

Passo 4

Como o limite \lim_{n\to\infty}a_n existe e vale 0, concluímos que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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