Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
que envolve fatoriais. Vamos usar propriedades de fatoriais e limites de sequências racionais para decidir se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar seu limite.
Passo 2
Usamos a propriedade de fatoriais
Substituindo em
, obtemos
Passo 3
Agora temos uma sequência simples:
É conhecido que, para todo termo dessa forma (um número fixo dividido por uma expressão linear em
), o denominador cresce sem limite.
Passo 4
Calculamos o limite quando
:
pois o denominador
cresce indefinidamente, fazendo o quociente tender a zero.
Resposta
A sequência converge e seu limite é
.