Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
\left(\frac{(2 n)!}{(2 n+1)!}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
a_n = \frac{(2n)!}{(2n+1)!},
que envolve fatoriais. Vamos usar propriedades de fatoriais e limites de sequências racionais para decidir se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar seu limite.

Passo 2

Usamos a propriedade de fatoriais
(2n+1)! = (2n+1)\,(2n)!.
Substituindo em a_n, obtemos
a_n = \frac{(2n)!}{(2n+1)\,(2n)!} = \frac{1}{2n+1}.

Passo 3

Agora temos uma sequência simples:
a_n = \frac{1}{2n+1}.
É conhecido que, para todo termo dessa forma (um número fixo dividido por uma expressão linear em n), o denominador cresce sem limite.

Passo 4

Calculamos o limite quando n \to \infty:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n+1} = 0,
pois o denominador 2n+1 cresce indefinidamente, fazendo o quociente tender a zero.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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