Determine se as sequencias abaixo convergen. Justificiusl
a_{n}=\frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_{n} = \frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}}
converge, e em caso afirmativo determinar seu limite. O conteúdo aqui envolve limites de sequências, em especial o reconhecimento do limite clássico \lim_{m\to\infty}\bigl(1+\tfrac{x}{m}\bigr)^{m}=e^{x}.

Passo 2

Reescrevemos a_{n} de forma a evidenciar fatores conhecidos:
a_{n} = \frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}\,(n+1)} = \frac{1}{n+1}\,\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Analisamos o fator
\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n} = \Bigl(1 - \frac{1}{n+1}\Bigr)^{n}.
Como n\to\infty, vale o limite clássico
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1 - \tfrac{1}{n+1}\Bigr)^{n} = e^{-1}.

Passo 4

O outro fator é
\frac{1}{n+1},
cujo limite é \lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n+1}=0.

Passo 5

A sequência a_{n} é o produto de duas partes: uma que tende a e^{-1} e outra que tende a 0. Portanto,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}\;\times\;\lim_{n\to\infty}\Bigl(1 - \tfrac{1}{n+1}\Bigr)^{n} = 0\cdot e^{-1} =0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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