• QUESTÃO 2 (2 PONTOS):
Considere a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)(n+3)}.
a) Determine uma fórmula para a sequencia \left\{S_{n}\right\} das somas parciais da série e prove por indução em n que a formula que voce obteve é valida
b) Calcule o valor da série.

Passo 1

O enunciado pede para a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)(n+3)}
a) encontrar uma fórmula fechada para as somas parciais S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+2)(k+3)} e provar por indução que ela está correta;
b) usar essa fórmula para calcular o valor do somatório infinito.
O conteúdo envolve decomposição em frações parciais (para obter um somatório telescópico) e prova por indução.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(n+2)(n+3)}=\frac{A}{n+2}+\frac{B}{n+3}.
Multiplicando ambos os lados por (n+2)(n+3), obtemos
1 = A(n+3) + B(n+2).
Escolhendo n=-2 1 = A\cdot1, logo A=1. Escolhendo n=-3 1 = B\cdot(-1), logo B=-1. Portanto
\frac{1}{(n+2)(n+3)} =\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}.

Passo 3

Substituindo na soma parcial,
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\biggl(\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3}\biggr).
É um somatório telescópico: escrevendo os primeiros termos vemos cancelamentos
\bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}\bigr) +\bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{5}\bigr) +\cdots +\bigl(\tfrac{1}{n+2}-\tfrac{1}{n+3}\bigr) =\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}.
Logo a fórmula candidata é
S_{n}=\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}.

Passo 4

Prova por indução em n:
Base n=1:
S_{1}=\frac{1}{(1+2)(1+3)}=\frac{1}{12}, \quad \frac{1}{3}-\frac{1}{1+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12}.
Verdade para n=1.
Passo indutivo: suponha válida para n, isto é
S_{n}=\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}.
Então
S_{n+1} =S_{n}+\frac{1}{(n+1+2)(n+1+3)} =\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}\Bigr) =\frac{1}{3}-\frac{1}{n+4},
que é a fórmula para n+1. Assim a fórmula está provada.

Passo 5

Para o valor da série completa, basta tomar o limite
\lim_{n\to\infty}S_{n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}\Bigr) =\frac{1}{3}-0 =\frac{1}{3}.

Resposta

(a) \displaystyle S_{n}=\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}.
(b) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+2)(n+3)}=\frac{1}{3}.

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