- QUESTÃO 2 (2 PONTOS):
Considere a série
.
a) Determine uma fórmula para a sequencia
das somas parciais da série e prove por indução em
que a formula que voce obteve é valida
b) Calcule o valor da série.
a) Determine uma fórmula para a sequencia
b) Calcule o valor da série.
Passo 1
O enunciado pede para a série
a) encontrar uma fórmula fechada para as somas parciais
e provar por indução que ela está correta;
b) usar essa fórmula para calcular o valor do somatório infinito.
O conteúdo envolve decomposição em frações parciais (para obter um somatório telescópico) e prova por indução.
b) usar essa fórmula para calcular o valor do somatório infinito.
O conteúdo envolve decomposição em frações parciais (para obter um somatório telescópico) e prova por indução.
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Escolhendo
dá
, logo
. Escolhendo
dá
, logo
. Portanto
Passo 3
Substituindo na soma parcial,
É um somatório telescópico: escrevendo os primeiros termos vemos cancelamentos
Logo a fórmula candidata é
Passo 4
Prova por indução em
:
Base
:
Verdade para
.
Passo indutivo: suponha válida para
, isto é
Então
que é a fórmula para
. Assim a fórmula está provada.
Passo 5
Para o valor da série completa, basta tomar o limite
Resposta
(a)
(b)
(b)