Determine se as sequencias abaixo convergen. Justificiusl
a_{n}=\frac{n+(-1)^{n}}{2 n+1+(-1)^{n} n}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da sequência
a_{n} = \frac{n + (-1)^{n}}{2\,n + 1 + (-1)^{n}\,n}.
O conteúdo principal aqui é análise de limites de subsequências (números pares e ímpares) para verificar se todos tendem ao mesmo valor.

Passo 2

Separemos em caso n par e n ímpar, pois (-1)^{n} vale 1 ou -1 conforme a paridade:
  • Se n é par, então (-1)^{n}=1.
  • Se n é ímpar, então (-1)^{n}=-1.

Passo 3

Caso n par (-1)^n=1:
a_{n} = \frac{n + 1}{2n + 1 + n} = \frac{n+1}{3n+1}.
Para n\to\infty, dividindo numerador e denominador por n,
\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{3n+1} = \frac{1 + \tfrac1n}{3 + \tfrac1n} \to \frac{1}{3}.

Passo 4

Caso n ímpar (-1)^n=-1:
a_{n} = \frac{n - 1}{2n + 1 - n} = \frac{n-1}{n+1}.
Para n\to\infty,
\lim_{n\to\infty} \frac{n-1}{n+1} = \frac{1 - \tfrac1n}{1 + \tfrac1n} \to 1.

Passo 5

As duas subsequências têm limites diferentes:
\lim_{\substack{n\to\infty\n\text{ par}}}a_{n} = \tfrac13 \quad\text{e}\quad \lim_{\substack{n\to\infty\n\text{ ímpar}}}a_{n} = 1.
Como não há um único limite comum, a sequência \{a_{n}\} não converge.

Resposta

A sequência diverge, pois as subsequências para n par e n ímpar convergem a valores distintos \tfrac13 e 1.

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