Determine a solução do problema de valor inicial dado.
15.
15.
Passo 1
O problema é um valor inicial para a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e força externa:
com as condições
e
.
Para resolver, vamos usar método de coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução homogênea, depois uma particular compatível com a forma do termo forçante, e por fim aplicamos as condições iniciais.
Para resolver, vamos usar método de coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução homogênea, depois uma particular compatível com a forma do termo forçante, e por fim aplicamos as condições iniciais.
Passo 2
A solução homogênea vem da equação característica
Logo
Passo 3
O termo forçante é
, que tem a mesma forma de uma solução da homogênea. Isso indica ressonância de multiplicidade 1, então tentamos um particular da forma
Passo 4
Aplicando
em
e usando a simplificação via
, obtém-se
Para que isso seja
precisamos
Assim
Passo 5
A solução geral é
Da condição
vem
Passo 6
Para
calculamos
e achamos em