Determine a solução do problema de valor inicial dado.
15. \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=4 e^{-t} \cos (2 t) \\\ y(0)=1 ; \quad y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O problema é um valor inicial para a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e força externa:
y'' + 2y' + 5y = 4e^{-t}\cos(2t),
com as condições y(0)=1 e y'(0)=0.
Para resolver, vamos usar método de coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução homogênea, depois uma particular compatível com a forma do termo forçante, e por fim aplicamos as condições iniciais.

Passo 2

A solução homogênea vem da equação característica
r^2 + 2r + 5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = -1 \pm 2i.
Logo
y_h(t) = e^{-t}\bigl(C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t)\bigr).

Passo 3

O termo forçante é 4e^{-t}\cos(2t), que tem a mesma forma de uma solução da homogênea. Isso indica ressonância de multiplicidade 1, então tentamos um particular da forma
y_p(t) = t\,e^{-t}\bigl(A\cos(2t) + B\sin(2t)\bigr).

Passo 4

Aplicando L[y]=y''+2y'+5y em y_p e usando a simplificação via u(t)=t(A\cos2t+B\sin2t), obtém-se
L[y_p]=e^{-t}\bigl(u''+4u\bigr) \quad\text{e}\quad u''+4u = -4A\sin(2t) + 4B\cos(2t).
Para que isso seja 4\cos(2t) precisamos
-4A = 0, \quad 4B = 4 \;\Longrightarrow\; A=0,\;B=1.
Assim
y_p(t) = t\,e^{-t}\sin(2t).

Passo 5

A solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = e^{-t}\bigl(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\bigr) + t\,e^{-t}\sin(2t).
Da condição y(0)=1 vem
y(0)=C_1 = 1.

Passo 6

Para y'(0)=0 calculamos
y'(t)=e^{-t}\bigl(v'(t)-v(t)\bigr), \quad v(t)=C_1\cos2t + C_2\sin2t + t\sin2t,
e achamos em t=0
y'(0)=2C_2 - C_1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2C_2 -1 = 0 \;\Longrightarrow\; C_2 = \tfrac12.

Resposta

\boxed{y(t) = e^{-t}\Bigl(\cos(2t) + \tfrac12\sin(2t) + t\,\sin(2t)\Bigr).}

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