QUESTÃO 3 (4 PONTOS):
Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalment ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n \ln \left(\frac{n^{3}+1}{n^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,n\,\ln\!\Bigl(\frac{n^{3}+1}{n^{3}}\Bigr)
e pede para decidir se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Vamos estudar o comportamento do termo geral e usar o critério de comparação (ou comparação limite) com uma p-série.

Passo 2

Primeiro, note que
\ln\!\Bigl(\frac{n^{3}+1}{n^{3}}\Bigr) =\ln\bigl(1+1/n^{3}\bigr).
Para n\ge1 vale
0<\ln\bigl(1+1/n^{3}\bigr)<\frac{1}{n^{3}},
portanto o valor absoluto do termo geral satisfaz
|a_{n}|=n\,\ln\bigl(1+1/n^{3}\bigr)<n\cdot\frac{1}{n^{3}} =\frac{1}{n^{2}}.

Passo 3

Como a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge (p-série com p=2>1), pelo critério de comparação direta a série \sum|a_{n}| também converge. Isso implica que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente. Critério de convergência utilizado: comparação direta com a p-série \sum1/n^{2}.

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