Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Para as sequências convergentes encontre seu limite.
\left(\cos \left(\frac{n \pi}{n+1}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_n = \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{n+1}\bigr)
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo principal é cálculo de limite de sequência e uso da continuidade da função \cos x.

Passo 2

Primeiro encontramos o limite do argumento:
\lim_{n\to\infty}\frac{n\pi}{n+1} = \pi\;\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} = \pi\;\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1 + 1/n} = \pi\cdot 1 = \pi.

Passo 3

Como a função \cos x é contínua em todo \mathbb{R}, podemos passar o limite para dentro:
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{n+1}\bigr) = \cos\!\bigl(\lim_{n\to\infty}\tfrac{n\pi}{n+1}\bigr) = \cos(\pi) = -1.
Logo, a sequência é convergente.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{n+1}\bigr) = -1.

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