Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Para as sequências convergentes encontre seu limite.
\left(\frac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}+4 n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_n = \frac{n^2}{\sqrt{n^3+4n}}
é convergente ou divergente. Vamos usar propriedades de limites e crescimento assintótico de funções de n.

Passo 2

Reescrevemos a_n fatorando n^3 dentro da raiz:
a_n = \frac{n^2}{\sqrt{n^3+4n}} = \frac{n^2}{\sqrt{n^3\bigl(1 + \frac{4}{n^2}\bigr)}} = \frac{n^2}{n^{3/2}\sqrt{1 + \frac{4}{n^2}}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1 + \frac{4}{n^2}}}.

Passo 3

Quando n\to\infty temos \sqrt{1 + \tfrac{4}{n^2}}\to1 e \sqrt{n}\to\infty. Logo,
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1 + \frac{4}{n^2}}} = +\infty.
Isto mostra que a_n cresce sem limite.

Resposta

A sequência é divergente (seu limite é +\infty).

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