Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Para as sequências convergentes encontre seu limite.
\left(\frac{4 n^{2}-3 n}{2 n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_n = \frac{4n^{2} - 3n}{2n + 1}
e decidir se ela converge (isto é, se existe \lim_{n\to\infty}a_n finito) ou diverge. Vamos usar a técnica de comparar o grau do polinômio do numerador e do denominador e, em seguida, dividir numerador e denominador pela maior potência de n.

Passo 2

Note que o numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador é de grau 1. Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o quociente tende a infinito ou menos infinito conforme o coeficiente principal. Para ver isso de forma clara, dividimos ambos por n:
a_n = \frac{4n^{2} - 3n}{2n + 1} = \frac{n\bigl(4n - 3\bigr)}{n\bigl(2 + \tfrac1n\bigr)} = \frac{4n - 3}{2 + \tfrac1n}.

Passo 3

Agora observamos o comportamento de cada parte quando n\to\infty:
4n - 3 \sim 4n, \quad 2 + \frac1n \sim 2.
Logo
a_n = \frac{4n - 3}{2 + \tfrac1n} \;\longrightarrow\; \frac{4n}{2} = 2n \;\longrightarrow\; +\infty.

Resposta

A sequência é divergente, pois \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = +\infty.

Exercícios relacionados