Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Para as sequências convergentes encontre seu limite.
\left(n^{\frac{1}{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_n = n^{\frac1n}
e decidir se ela converge ou diverge. Como aparece uma potência com n no expoente, vamos usar a transformação pelo logaritmo para aproveitar limites de tipos \frac{\ln n}{n}.

Passo 2

Escrevemos a_n em termos de exponencial e logaritmo:
a_n = n^{\frac1n} = \exp\bigl(\ln\bigl(n^{\frac1n}\bigr)\bigr) = \exp\!\Bigl(\tfrac{1}{n}\ln n\Bigr).

Passo 3

Estudamos o comportamento de
\frac{\ln n}{n}
quando n\to\infty. Sabemos que o logaritmo cresce muito mais devagar que n, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n} = 0.

Passo 4

Como o exponencial é contínuo, temos
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\exp\!\Bigl(\tfrac{\ln n}{n}\Bigr) = \exp\!\bigl(\lim_{n\to\infty}\tfrac{\ln n}{n}\bigr) = \exp(0) = 1.

Resposta

A sequência \bigl(n^{1/n}\bigr) é convergente e
\lim_{n\to\infty}n^{\frac1n} = 1.

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