Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Para as sequências convergentes encontre seu limite.
\left(\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \displaystyle a_n = \Bigl(1+\frac{2}{n}\Bigr)^{n}
e pede para decidir se ela converge e, em caso afirmativo, determinar o limite. Vamos usar o conteúdo de limites de sequências exponenciais, transformando a potência em soma pelo logaritmo.

Passo 2

Definimos
b_n = \ln(a_n) = n\;\ln\!\Bigl(1+\tfrac{2}{n}\Bigr).
Como \tfrac{2}{n}\to0 quando n\to\infty, aplicamos a expansão
\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2),
com u = \tfrac{2}{n}. Então
b_n = n\Bigl(\tfrac{2}{n} - \tfrac{1}{2}\,\tfrac{4}{n^2} + o(\tfrac{1}{n^2})\Bigr) = 2 - \frac{2}{n} + o\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr),
logo \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = 2.

Passo 3

Como a função exponencial é contínua, temos
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty} e^{b_n} = e^{\lim b_n} = e^2.
Portanto a sequência converge.

Resposta

A sequência \bigl(1+\tfrac{2}{n}\bigr)^{n} é convergente e seu limite é e^2.

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