Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Para as sequências convergentes encontre seu limite.
\left(\frac{n!}{2^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_n = \frac{n!}{2^n}
para ver se ela converge ou diverge, e, em caso de convergência, achar o limite. O conteúdo usado será a comparação de taxas de crescimento, especialmente o teste da razão para sequências.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão, isto é, calcular
\frac{a_{n+1}}{a_n}
onde
a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{2^{\,n+1}} \quad\text{e}\quad a_n = \frac{n!}{2^n}.
Substituindo, obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{2^{\,n+1}}}{\frac{n!}{2^n}} = \frac{(n+1)!}{2^{\,n+1}}\cdot\frac{2^n}{n!} = \frac{n+1}{2}.

Passo 3

Para n\ge 2 vale
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2} \ge \frac{3}{2} > 1,
ou seja, a partir de certo índice a sequência é estritamente crescente e seu termo geral fica cada vez maior. Além disso, como \frac{n+1}{2}\to+\infty cresce sem limite, a própria sequência a_n tende a +\infty.

Passo 4

Como a_n cresce sem limite superior e tende a +\infty, a sequência não converge para um valor finito.

Resposta

A sequência \bigl(\tfrac{n!}{2^n}\bigr) é divergente (tende a +\infty).

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