Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Para as sequências convergentes encontre seu limite.
\left(\frac{(\ln (n))^{2}}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da sequência \displaystyle a_n = \frac{(\ln(n))^2}{n}
e, se for convergente, determinar \lim_{n\to\infty}a_n.
O conteúdo envolve limites de sequência e uso do Teorema de L’Hôpital para comparar crescimento de funções.

Passo 2

Para estudar \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n, vemos que numerador e denominador tendem a +\infty, ou seja, forma indeterminada \infty/\infty.
Então consideramos a função contínua em x>1:
f(x)=\frac{(\ln(x))^2}{x}
e aplicamos o Teorema de L’Hôpital para x\to\infty.

Passo 3

Primeira aplicação de L’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln(x))^2}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{2\,\ln(x)\cdot\frac{1}{x}}{1} =\lim_{x\to\infty}\frac{2\,\ln(x)}{x}.

Passo 4

Segunda aplicação de L’Hôpital sobre \displaystyle \frac{2\,\ln(x)}{x}:
\lim_{x\to\infty}\frac{2\,\ln(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{2\cdot\frac{1}{x}}{1} =\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x} =0.

Passo 5

Como \lim_{x\to\infty}f(x)=0, a sequência \bigl(a_n\bigr) tende ao mesmo valor.

Resposta

A sequência é convergente e
\lim_{n\to\infty}\frac{(\ln(n))^2}{n}=0.

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