Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Para as sequências convergentes encontre seu limite.
\left(\frac{(-3)^{n}}{n!}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{(-3)^{n}}{n!}
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é análise de sequências e cálculo de limite de sequências. Para resolver vamos usar o critério da razão, que compara o valor absoluto de a_{n+1}/a_{n}.

Passo 2

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos em valor absoluto:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \left|\frac{(-3)^{n+1}/(n+1)!}{(-3)^{n}/n!}\right| = \frac{3}{n+1}.

Passo 3

Analisamos o limite dessa razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1} = 0 < 1.
Quando o limite da razão em valor absoluto é menor que 1, isso indica que \bigl|a_{n}\bigr|\to0 e, portanto, a_{n}\to0.

Passo 4

Como o valor absoluto de a_{n} tende a zero, a própria sequência a_{n} também tende a zero, mesmo alternando sinal.

Resposta

A sequência é convergente e
\lim_{n\to\infty}\frac{(-3)^{n}}{n!} = 0.

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