Determine se as sequências convergem ou divergem:
an=t g^-1(n)n.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
an = arctan(n)n
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é limite de sequência e comportamento da função arctan(x) quando xto+infty.

Passo 2

Sabemos que arctan(x) é crescente e limitada, com
limxto+inftyarctan(x)=pi2
Logo, para todo ninN,
0 ;<=;arctan(n);<=;pi2

Passo 3

Dividindo essa desigualdade por n>0, obtemos
0 ;<=;arctan(n)n;<=;pi2n
Como
limnto+inftypi2n=0,
pelo Teorema do Confronto segue que
limnto+inftyan = 0

Resposta

A sequência an=arctan(n)n converge e
limnto+inftyan = 0

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