Encontre uma cota inferior e uma cota superior para ln (32), assim como fizemos em sala para ln (2). Além disso, utilize a regra do ponto médio com 5 pontos para estimar ln (32). Se desejar, consulte Stewart, Cálculo Vol 2, 7^a ed, P. A45.
Obs.: Certifique-se que o segmento de reta que une (1,1) a (32, 23) está inteiramente contido na parte superior ao gráfico da função f(x)=1x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
1. Encontrar uma cota inferior e uma cota superior para
ln!(32) =integral1^3/21x,dx
usando a convexidade de f(x)=1x (mesma ideia que em sala para ln 2).
2. Estimar numericamente essa integral pela regra do ponto médio com 5 subintervalos.

Passo 2

Mostramos que f(x)=1/x é convexa em [1,3/2] pois
f''(x)=2x^3>0forall xin[1,3/2]
Logo o gráfico de f fica sempre acima da reta tangente e sempre abaixo da reta que une (1,f(1)) a (3/2,f(3/2)).

Passo 3

Cota inferior via reta tangente em x=1.
A derivada em 1 é f'(1)=-1, então a reta tangente é
y=1-1,(x-1)=2-x
Como f é convexa, f(x)>= 2-x em [1,3/2].
Logo
ln!l(tfrac32r) =integral1^3/2f(x),dx >=integral1^3/2(2-x),dx =l[2x-tfracx^22r]1^3/2 = tfrac38

Passo 4

Cota superior via reta secante (trapezoide) entre (1,1) e l(tfrac32,tfrac23r).
O valor médio dos extremos é 1+(2/3)2=5/6, e a largura do intervalo é tfrac12.
Portanto
ln!l(tfrac32r) =integral1^3/2f(x),dx <=56cdot12 =512

Passo 5

Regra do ponto médio com 5 subintervalos:
A largura de cada subintervalo é
h=3/2-15=0,1
Os pontos médios são
xi^* = 1 +l(i-tfrac12r),h, i=1,2,3,4,5,
isto é 1,05, 1,15, 1,25, 1,35, 1,45.
Logo a estimativa é
sumi=1^5f(xi^*),h =0,1l(tfrac11,05+tfrac11,15+tfrac11,25+tfrac11,35+tfrac11,45r) approx0,40523

Resposta

Cota inferior: tfrac38.
Cota superior: tfrac512.
Estimativa por regra do ponto médio com 5 pontos: aproximadamente 0,40523.

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