Encontre uma cota inferior e uma cota superior para
, assim como fizemos em sala para
. Além disso, utilize a regra do ponto médio com 5 pontos para estimar
. Se desejar, consulte Stewart, Cálculo Vol 2,
ed, P. A45.
Obs.: Certifique-se que o segmento de reta que une
a
está inteiramente contido na parte superior ao gráfico da função
.
Obs.: Certifique-se que o segmento de reta que une
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
. Encontrar uma cota inferior e uma cota superior para
usando a convexidade de
(mesma ideia que em sala para
).
. Estimar numericamente essa integral pela regra do ponto médio com
subintervalos.
Passo 2
Mostramos que
é convexa em
pois
Logo o gráfico de
fica sempre acima da reta tangente e sempre abaixo da reta que une
a
.
Passo 3
Cota inferior via reta tangente em
.
A derivada em é
, então a reta tangente é
A derivada em
Como
é convexa,
em
.
Logo
Logo
Passo 4
Cota superior via reta secante (trapezoide) entre
e
.
O valor médio dos extremos é , e a largura do intervalo é
.
Portanto
O valor médio dos extremos é
Portanto
Passo 5
Regra do ponto médio com
subintervalos:
A largura de cada subintervalo é
A largura de cada subintervalo é
Os pontos médios são
isto é
,
,
,
,
.
Logo a estimativa é
Logo a estimativa é
Resposta
Cota inferior:
.
Cota superior: .
Estimativa por regra do ponto médio com pontos: aproximadamente
.
Cota superior:
Estimativa por regra do ponto médio com