Sejam A e B subconjuntos de R tais que B=barA (lê-se: " B é o fecho de A "), isto é, para todo b in B existe uma sequência an subseteq A tal que an b. Mostre que se f, g: B R são funções contínuas tais f(a)=g(a), forall a in A, então f=g.
Comentário: Esta questão elucida porque e^x e exp (x) são iguais. De fato, ambas coincidem no conjunto dos racionais, daí basta lembrar que R=Q.

Passo 1

O enunciado trata de duas funções contínuas f,gcolon BtoR, onde B=AsubseteqR é o fecho de A. Sabe-se que f(a)=g(a) para todo ain A e queremos mostrar que isso força f(b)=g(b) para todo bin B. O conteúdo principal é usar a definição de fecho via sequências e a continuidade de f e g.

Passo 2

Seja bin B. Como B=A, existe uma sequência ansubseteq A tal que
an to b

Passo 3

Pela continuidade de f em B temos
limntoinfty f(an) ;=; f(b),
e pela continuidade de g em B temos
limntoinfty g(an) ;=; g(b)

Passo 4

Como anin A para todo n, vale f(an)=g(an). Logo as sequências l(f(an)r) e l(g(an)r) são idênticas e têm o mesmo limite. Assim
f(b) ;=;limntoinftyf(an) ;=;limntoinftyg(an) ;=;g(b)

Resposta

Concluímos que f(b)=g(b) para todo bin B, ou seja, f=g em B.

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