Sejam e subconjuntos de tais que (lê-se: " é o fecho de "), isto é, para todo existe uma sequência tal que . Mostre que se são funções contínuas tais , então .
Comentário: Esta questão elucida porque são iguais. De fato, ambas coincidem no conjunto dos racionais, daí basta lembrar que .
Passo 1
O enunciado trata de duas funções contínuas f,gcolon BtoR, onde B=AsubseteqR é o fecho de A. Sabe-se que f(a)=g(a) para todo ain A e queremos mostrar que isso força f(b)=g(b) para todo bin B. O conteúdo principal é usar a definição de fecho via sequências e a continuidade de f e g.
Passo 2
Seja bin B. Como B=A, existe uma sequência ansubseteq A tal que
an to b
Passo 3
Pela continuidade de f em B temos
limntoinfty f(an) ;=; f(b),
e pela continuidade de g em B temos
limntoinfty g(an) ;=; g(b)
Passo 4
Como anin A para todo n, vale f(an)=g(an). Logo as sequências l(f(an)r) e l(g(an)r) são idênticas e têm o mesmo limite. Assim