Para a in R+^*, temos que a=e^ln (a) e portanto a^r=e^r ln (a) para todo número racional r (vide 4(c) ). Assim, para qualquer número real x definimos a^x:=e^x ln (a). A função exponencial de base a
exp a: R R+^*, exp a(x)=a^x
Mostre forall a, b>0 e forall x, y in R que:
(a) ln (a^x)=x ln (a).

Passo 1

O enunciado define, para a>0, a potência real
a^x := e^,xln(a)
e pede para mostrar que
lnl(a^xr)=x,ln(a)
Vamos usar a propriedade fundamental de que o logaritmo natural é a função inversa da exponencial, isto é,
lnl(e^tr)=tforall,tinR

Passo 2

Aplicando a definição de a^x dentro do logaritmo, temos
lnl(a^xr) =lnl(e^,xln(a)r)
Como ln e exp são inversas, substituímos t=xln(a) em ln(e^t)=t e obtemos
lnl(e^,xln(a)r) = x,ln(a)

Resposta

ln(a^x) = x,ln(a)

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