Verifique que a famĂlia de funções indicada Ă© uma solução da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição
apropriado para cada solução.
Passo 1
Resumo do enunciado e do conteúdo: temos a equação diferencial
e queremos verificar se a família
é solução. O assunto é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes; para isso, vamos precisar usar a regra de derivação de exponenciais e a regra do produto.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada
. Lembre que
e que, pela regra do produto,
.
Então temos:
e que, pela regra do produto,
Então temos:
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
. Derivando cada termo de
:
-
. -
. - Para
, aplicamos produto: .
Somando tudo, obtemos:
Passo 4
Por fim, substituímos
,
e
na equação
e conferimos que dá zero identicamente.
Substituindo:
Substituindo:
Distribuindo e agrupando termos semelhantes, fica:
Como o resultado é zero para todo
, concluímos que a família é solução da equação diferencial em qualquer intervalo
onde esteja definida.
Resposta
A família de funções
satisfaz a equação diferencial
em qualquer intervalo de definição, pois ao substituir
,
e
tudo se cancela e resulta em zero identicamente.