Verifique que a família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição I apropriado para cada solução.
d^2 yd x^2-4 d yd x+4 y=0 ; y=c1 e^2 x+c2 x e^2 x

Passo 1

Resumo do enunciado e do conteúdo: temos a equação diferencial dfracd^2ydx^2 - 4dfracdydx + 4y = 0 e queremos verificar se a família
y = c1e^2x + c2x e^2x
é solução. O assunto é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes; para isso, vamos precisar usar a regra de derivação de exponenciais e a regra do produto.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada y' = dfracdydx. Lembre que
dfracddx(e^2x) = 2e^2x
e que, pela regra do produto,
dfracddx(x e^2x) = 1 cdot e^2x + x cdot 2e^2x.
Então temos:
y' = 2c1e^2x + c2l(e^2x + 2x e^2xr) = 2c1e^2x + c2e^2x + 2c2x e^2x

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada y'' = dfracd^2ydx^2. Derivando cada termo de y':
  • dfracddx(2c1e^2x) = 4c1e^2x.
  • dfracddx(c2e^2x) = 2c2e^2x.
  • Para 2c2x e^2x, aplicamos produto: dfracddx(2c2x e^2x) = 2c2(e^2x + 2x e^2x).
    Somando tudo, obtemos:
y'' = 4c1e^2x + 2c2e^2x + 2c2e^2x + 4c2x e^2x = 4c1e^2x + 4c2e^2x + 4c2x e^2x

Passo 4

Por fim, substituímos y, y' e y'' na equação
dfracd^2ydx^2 - 4dfracdydx + 4y e conferimos que dá zero identicamente.
Substituindo:
y'' - 4y' + 4y = (4c1e^2x + 4c2e^2x + 4c2x e^2x) - 4(2c1e^2x + c2e^2x + 2c2x e^2x) + 4(c1e^2x + c2x e^2x)
Distribuindo e agrupando termos semelhantes, fica:
(4 - 8 + 4)c1e^2x + (4 - 4)c2e^2x + (4 - 8 + 4)c2x e^2x = 0
Como o resultado é zero para todo x, concluímos que a família é solução da equação diferencial em qualquer intervalo I onde esteja definida.

Resposta

A família de funções y = c1e^2x + c2x e^2x satisfaz a equação diferencial dfracd^2ydx^2 - 4dfracdydx + 4y = 0 em qualquer intervalo de definição, pois ao substituir y, y' e y'' tudo se cancela e resulta em zero identicamente.

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