Nos exercícios 35 a 38, encontre a série de Maclaurin para cada função, indicando o intervalo de convergência da expansão.
f(x)=e^-x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=e^-x e o respectivo intervalo de convergência. Vamos usar a expansão conhecida de e^u em torno de u=0 e fazer a substituição u=-x.

Passo 2

Lembrando que a série de Maclaurin de e^u é
e^u = sumn=0^infty u^nn!,
válida para todo uinR.

Passo 3

Substituindo u=-x na série acima obtemos
e^-x = sumn=0^infty (-x)^nn! = sumn=0^infty (-1)^nn!,x^n

Passo 4

Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o Critério da Razão de d’Alembert à série
an = (-1)^nn!,x^n
Calculamos
limntoinfty|an+1an| = limntoinfty|x|^n+1/(n+1)!|x|^n/n! = limntoinfty|x|n+1 = 0
Como esse limite é 0<1 para todo x, a série converge para todo xinR.

Resposta

e^-x = sumn=0^infty (-1)^nn!,x^n, convergência em (-infty,infty) ê

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