Suponha que as sequências \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) convirjam, respectivamente, para L e M e que c seja uma constante. Então:
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \cdot b_{n}\right)=L \cdot M

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se \lim_{n\to\infty}a_{n}=L e \lim_{n\to\infty}b_{n}=M, então
\lim_{n\to\infty}(a_{n}\,b_{n})=L\,M.
Aqui vamos usar a definição de limite de sequência com \varepsilon N e a desigualdade triangular para controlar a diferença
\bigl|a_{n}b_{n}-L\,M\bigr|.

Passo 2

Observe que
\bigl|a_{n}b_{n}-L\,M\bigr| =\bigl|a_{n}b_{n}-a_{n}M + a_{n}M - L\,M\bigr| \le \underbrace{\bigl|a_{n}\bigr|}_{\text{Termo 1}}\;\bigl|b_{n}-M\bigr| \;+\;\underbrace{\bigl|M\bigr|}_{\text{Termo 2}}\;\bigl|a_{n}-L\bigr|.

Passo 3

Para controlar o “Termo 1” precisamos de um majorante para \bigl|a_{n}\bigr|. Como a_{n}\to L, existe N_{1} tal que, para todo n\ge N_{1},
\bigl|a_{n}-L\bigr|<1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|a_{n}\bigr|\le \bigl|L\bigr|+1.

Passo 4

Dado \varepsilon>0, definimos
\varepsilon_{1}=\frac{\varepsilon}{2\bigl(\lvert L\rvert+1\bigr)}, \quad \varepsilon_{2}=\frac{\varepsilon}{2\max\{1,\lvert M\rvert\}}.
Como b_{n}\to M, existe N_{2} tal que, para n\ge N_{2}, \lvert b_{n}-M\rvert<\varepsilon_{1}.
Como a_{n}\to L, existe N_{3} tal que, para n\ge N_{3}, \lvert a_{n}-L\rvert<\varepsilon_{2}.
Defina N=\max\{N_{1},N_{2},N_{3}\}. Então, para todo n\ge N, vale
\bigl|a_{n}b_{n}-L\,M\bigr| \le (\lvert L\rvert+1)\,\varepsilon_{1} \;+\;\lvert M\rvert\,\varepsilon_{2} =\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon.

Passo 5

Mostramos que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para n\ge N,
\lvert a_{n}b_{n}-L\,M\rvert<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de
\lim_{n\to\infty}(a_{n}b_{n})=L\,M.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\bigl(a_{n}\,b_{n}\bigr)=L\,M.

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