Suponha que as sequências \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) convirjam, respectivamente, para L e M e que c seja uma constante. Então: \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \cdot b_{n}\right)=L \cdot M
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se \lim_{n\to\infty}a_{n}=L e \lim_{n\to\infty}b_{n}=M, então
\lim_{n\to\infty}(a_{n}\,b_{n})=L\,M.
Aqui vamos usar a definição de limite de sequência com \varepsilon–N e a desigualdade triangular para controlar a diferença \bigl|a_{n}b_{n}-L\,M\bigr|.
Como b_{n}\to M, existe N_{2} tal que, para n\ge N_{2}, \lvert b_{n}-M\rvert<\varepsilon_{1}.
Como a_{n}\to L, existe N_{3} tal que, para n\ge N_{3}, \lvert a_{n}-L\rvert<\varepsilon_{2}.
Defina N=\max\{N_{1},N_{2},N_{3}\}. Então, para todo n\ge N, vale
Mostramos que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para n\ge N, \lvert a_{n}b_{n}-L\,M\rvert<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de \lim_{n\to\infty}(a_{n}b_{n})=L\,M.