Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, calcular o limite
.
Informações relevantes que temos:
- A sequência é definida em termos de
, que cresce para o infinito. - Cada termo é a diferença de duas frações racionais com numerador
e denominadores lineares em . - Queremos o comportamento quando
.
Passo 2
Vamos manipular algebricamente a expressão para deixá-la mais simples e ver o comportamento para
grande. Primeiro, colocamos em um único quociente combinando as frações:
Agora calculamos a diferença dentro do parêntese usando um denominador comum:
Passo 3
Calcule o numerador da diferença:
Substituindo de volta, obtemos
Passo 4
Multiplique os fatores do denominador para ver a forma polinomial:
Portanto
Passo 5
Para estudar o limite quando
de uma razão de polinômios, uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui
). Isso mostra quais termos dominam quando
é grande. Dividindo por
:
Expliquei: ao dividir cada termo por
obtemos constantes e termos que tendem a zero (como
), tornando claro o limite.
Passo 6
Agora aplicamos o limite em ambos os lados sabendo que
quando
. Assim
Também dá para ver intuitivamente: os termos de mais alta ordem no numerador e denominador são
, com coeficientes
e
; então o limite é o quociente desses coeficientes,
.
Passo 7
Conclusão lógica: o limite existe e é finito (
), portanto a sequência converge.