Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\frac{n^{2}}{2 n+1}-\frac{n^{2}}{2 n-1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{n^{2}}{2 n+1}-\frac{n^{2}}{2 n-1},
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, calcular o limite \lim_{n\to\infty} a_{n}.
Informações relevantes que temos:
  • A sequência é definida em termos de n, que cresce para o infinito.
  • Cada termo é a diferença de duas frações racionais com numerador n^{2} e denominadores lineares em n.
  • Queremos o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Vamos manipular algebricamente a expressão para deixá-la mais simples e ver o comportamento para n grande. Primeiro, colocamos em um único quociente combinando as frações:
a_{n} = n^{2}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1}\right).
Agora calculamos a diferença dentro do parêntese usando um denominador comum:
\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1}=\frac{(2n-1)-(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}.

Passo 3

Calcule o numerador da diferença:
(2n-1)-(2n+1)=2n-1-2n-1=-2.
Substituindo de volta, obtemos
a_{n}=n^{2}\cdot\frac{-2}{(2n+1)(2n-1)}=\frac{-2n^{2}}{(2n+1)(2n-1)}.

Passo 4

Multiplique os fatores do denominador para ver a forma polinomial:
(2n+1)(2n-1)=4n^{2}-1.
Portanto
a_{n}=\frac{-2n^{2}}{4n^{2}-1}.

Passo 5

Para estudar o limite quando n\to\infty de uma razão de polinômios, uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de n presente (aqui n^{2}). Isso mostra quais termos dominam quando n é grande. Dividindo por n^{2}:
a_{n}=\frac{-2}{4-\dfrac{1}{n^{2}}}.
Expliquei: ao dividir cada termo por n^{2} obtemos constantes e termos que tendem a zero (como \dfrac{1}{n^{2}}), tornando claro o limite.

Passo 6

Agora aplicamos o limite em ambos os lados sabendo que \dfrac{1}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty. Assim
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{-2}{4-\dfrac{1}{n^{2}}}=\frac{-2}{4-0}=\frac{-2}{4}=-\tfrac{1}{2}.
Também dá para ver intuitivamente: os termos de mais alta ordem no numerador e denominador são n^{2}, com coeficientes -2 e 4; então o limite é o quociente desses coeficientes, -2/4=-1/2.

Passo 7

Conclusão lógica: o limite existe e é finito ( -\tfrac{1}{2}), portanto a sequência converge.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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