Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a sequência
converge ou diverge quando
e, caso converja, calcular o limite. As informações dadas são:
- a fórmula geral da sequência é
; - o índice
é um inteiro positivo que tende a infinito.
Passo 2
Ideia principal que vamos usar: analisar o comportamento do termo
quando
. Se
, então pela lei de limites para soma/diferença teremos
. Antes de aplicar essa lei, vamos mostrar por que
.
Passo 3
Prova de que
.
Explicação intuitiva curta:
cresce sem limite quando
aumenta, então a fração
fica cada vez menor e tende a zero.
Prova epsilon (formal e simples): seja
. Queremos encontrar
tal que, para todo
, valha
.
Tomando logaritmos na base
(função monótona crescente), a desigualdade
é equivalente a
ou
Portanto, basta escolher um inteiro
com
Para esse
, para todo
teremos
. Isso prova que
quando
.
Observação alternativa (mais elementar): como
e
, a sequência
é positiva e estritamente decrescente; sendo assim, tende a um limite não negativo. Se o limite fosse
, então passando ao limite na relação
daria
, o que implicaria
. Logo o limite é
.
Passo 4
Aplicar a propriedade de limites a
.
Explicando a propriedade: se
e
, então
; também, uma sequência constante
tem limite
.
Aqui temos a sequência constante
(logo
) e já mostramos que
. Portanto, pela lei de limites,
Passo 5
Observação adicional (boa para prova sem cálculo de limites): a sequência
é estritamente crescente e limitada superiormente por
, logo converge por teorema do monotone convergence.
Mostrando isso:
logo
(sequência crescente). Além disso, para todo
vale
, então
é um majorante. Uma sequência monotona crescente e limitada acima converge; o limite é o ínfimo dos majorantes (o supremo dos termos), que aqui é
. Isso confirma o resultado anterior.
Passo 6
Exemplos numéricos para intuição:
,
,
,
. Vê‑se que os termos sobem e se aproximam de
.
Resposta
A sequência converge e