Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=3-\frac{1}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência \displaystyle a_{n}=3-\frac{1}{2^{n}} converge ou diverge quando n\to\infty e, caso converja, calcular o limite. As informações dadas são:
  • a fórmula geral da sequência é \displaystyle a_{n}=3-\frac{1}{2^{n}};
  • o índice n é um inteiro positivo que tende a infinito.

Passo 2

Ideia principal que vamos usar: analisar o comportamento do termo \displaystyle \frac{1}{2^{n}} quando n\to\infty. Se \displaystyle \frac{1}{2^{n}}\to 0, então pela lei de limites para soma/diferença teremos \displaystyle a_{n}=3-\frac{1}{2^{n}}\to 3-0=3. Antes de aplicar essa lei, vamos mostrar por que \displaystyle \frac{1}{2^{n}}\to 0.

Passo 3

Prova de que \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^{n}}=0.
Explicação intuitiva curta: \displaystyle 2^{n} cresce sem limite quando n aumenta, então a fração \displaystyle \frac{1}{2^{n}} fica cada vez menor e tende a zero.
Prova epsilon (formal e simples): seja \varepsilon>0. Queremos encontrar N tal que, para todo n\ge N, valha \displaystyle \frac{1}{2^{n}}<\varepsilon.
Tomando logaritmos na base 2 (função monótona crescente), a desigualdade \displaystyle \frac{1}{2^{n}}<\varepsilon é equivalente a
-\,n<\log_{2}\varepsilon
ou
n>-\log_{2}\varepsilon=\log_{2}\!\left(\frac{1}{\varepsilon}\right).
Portanto, basta escolher um inteiro N com
N>\log_{2}\!\left(\frac{1}{\varepsilon}\right).
Para esse N, para todo n\ge N teremos \displaystyle \frac{1}{2^{n}}<\varepsilon. Isso prova que \displaystyle \frac{1}{2^{n}}\to 0 quando n\to\infty.
Observação alternativa (mais elementar): como \displaystyle \frac{1}{2^{n}}>0 e \displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^{n}}<\frac{1}{2^{n}}, a sequência \displaystyle \frac{1}{2^{n}} é positiva e estritamente decrescente; sendo assim, tende a um limite não negativo. Se o limite fosse L>0, então passando ao limite na relação \displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^{n}} daria L=\frac{1}{2}L, o que implicaria L=0. Logo o limite é 0.

Passo 4

Aplicar a propriedade de limites a \displaystyle a_{n}=3-\frac{1}{2^{n}}.
Explicando a propriedade: se \displaystyle x_{n}\to X e \displaystyle y_{n}\to Y, então \displaystyle x_{n}\pm y_{n}\to X\pm Y; também, uma sequência constante c tem limite c.
Aqui temos a sequência constante 3 (logo \displaystyle 3\to 3) e já mostramos que \displaystyle \frac{1}{2^{n}}\to 0. Portanto, pela lei de limites,
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}\left(3-\frac{1}{2^{n}}\right)=3-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^{n}}=3-0=3.

Passo 5

Observação adicional (boa para prova sem cálculo de limites): a sequência \displaystyle a_{n} é estritamente crescente e limitada superiormente por \displaystyle 3, logo converge por teorema do monotone convergence.
Mostrando isso:
a_{n+1}-a_{n}=\left(3-\frac{1}{2^{n+1}}\right)-\left(3-\frac{1}{2^{n}}\right)=\frac{1}{2^{n}}-\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}>0,
logo \displaystyle a_{n+1}>a_{n} (sequência crescente). Além disso, para todo n vale \displaystyle a_{n}=3-\frac{1}{2^{n}}<3, então \displaystyle 3 é um majorante. Uma sequência monotona crescente e limitada acima converge; o limite é o ínfimo dos majorantes (o supremo dos termos), que aqui é \displaystyle 3. Isso confirma o resultado anterior.

Passo 6

Exemplos numéricos para intuição: \displaystyle a_{1}=3-\frac{1}{2}=2,5, \displaystyle a_{2}=3-\frac{1}{4}=2,75, \displaystyle a_{3}=3-\frac{1}{8}=2,875, \displaystyle a_{4}=3-\frac{1}{16}=2,9375. Vê‑se que os termos sobem e se aproximam de \displaystyle 3.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=3

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