Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\frac{(n-2)!}{n!}

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\dfrac{(n-2)!}{n!} e pede para determinar se ela converge ou diverge e, quando converge, calcular o limite.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência está definida por a_{n}=\dfrac{(n-2)!}{n!}.
  • Deve-se considerar n inteiro tal que os fatoriais existam (ou seja, normalmente n\ge 2).
  • A pergunta é: converge? Se sim, qual é \lim_{n\to\infty} a_{n}?

Passo 2

Lembrete útil sobre fatoriais (aquela simplificação que salva nas provas): para todo inteiro n\ge 1 vale
n! = n\cdot (n-1)!.
Aplicando essa identidade duas vezes obtemos a relação direta entre n! e (n-2)!:
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)!.

Passo 3

Usando a relação acima podemos simplificar a_{n} cancelando (n-2)!:
a_{n}=\frac{(n-2)!}{n!}=\frac{(n-2)!}{n\cdot(n-1)\cdot (n-2)!}=\frac{1}{n(n-1)}.
Portanto, para n\ge 2 a sequência é equivalente à sequência mais simples
a_{n}=\frac{1}{n(n-1)}.

Passo 4

Para ver o comportamento quando n\to\infty é útil comparar com algo que já conhecemos. Note que, para n\ge 2, tem-se n\ge n-1, logo
n(n-1)\ge (n-1)^2.
Daí segue
0 < a_{n}=\frac{1}{n(n-1)} \le \frac{1}{(n-1)^2}.
Sabemos que \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{(n-1)^2}=0. Aplicando o Teorema do Confronto (squeeze theorem), como a_{n} é positivo e está entre 0 e algo que tende a 0, concluímos que a_{n} também tende a 0.

Passo 5

Se quiser uma versão rigorosa estilo prova \varepsilon- N: dado \varepsilon>0, escolha N inteiro tal que
N>1+\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}.
Então para todo n\ge N tem-se a_{n}\le\dfrac{1}{(n-1)^2}\le\dfrac{1}{(N-1)^2}<\varepsilon. Isso mostra que \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.

Passo 6

Exemplinho numérico rápido para ganhar intuição: a_{2}=\dfrac{0!}{2!}=\dfrac{1}{2}, a_{3}=\dfrac{1!}{3!}=\dfrac{1}{6}, a_{4}=\dfrac{2!}{4!}=\dfrac{1}{12}, que vão ficando cada vez menores, aproximando-se de 0. Dica de prova: sempre que tiveres razões de fatoriais, tente cancelar para obter uma expressão em potências ou polinômios em n.

Resposta

Converge e \lim_{n\to\infty} a_{n}=0

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