Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, quando converge, calcular o limite.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A sequência está definida por
. - Deve-se considerar
inteiro tal que os fatoriais existam (ou seja, normalmente ). - A pergunta é: converge? Se sim, qual é
?
Passo 2
Lembrete útil sobre fatoriais (aquela simplificação que salva nas provas): para todo inteiro
vale
Aplicando essa identidade duas vezes obtemos a relação direta entre
e
:
Passo 3
Usando a relação acima podemos simplificar
cancelando
:
Portanto, para
a sequência é equivalente à sequência mais simples
Passo 4
Para ver o comportamento quando
é útil comparar com algo que já conhecemos. Note que, para
, tem-se
, logo
Daí segue
Sabemos que
. Aplicando o Teorema do Confronto (squeeze theorem), como
é positivo e está entre
e algo que tende a
, concluímos que
também tende a
.
Passo 5
Se quiser uma versão rigorosa estilo prova
-
: dado
, escolha
inteiro tal que
Então para todo
tem-se
. Isso mostra que
.
Passo 6
Exemplinho numérico rápido para ganhar intuição:
,
,
, que vão ficando cada vez menores, aproximando-se de
. Dica de prova: sempre que tiveres razões de fatoriais, tente cancelar para obter uma expressão em potências ou polinômios em
.
Resposta
Converge e