Escreva os cinco primeiros termos das sequências cujos n-ésimos termos são dados a seguir.
a_{n}=\operatorname{sen} \frac{n \pi}{2}

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujo termo geral é a_{n}=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right) e pede: escrever os cinco primeiros termos, isto é, calcular a_{n} para n=1,\dots,5.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula do termo geral é a_{n}=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right).
  • Precisamos dos valores de a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}.

Passo 2

Vamos lembrar o que é \operatorname{sen} (seno) e os valores em ângulos importantes. O seno de um ângulo mede a coordenada y do ponto correspondente no círculo trigonométrico de raio 1. Em ângulos múltiplos de \dfrac{\pi}{2} (ou seja, 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \tfrac{3\pi}{2}, 2\pi, …) os valores são fáceis e bem conhecidos:
\operatorname{sen}(0)=0,\qquad \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \operatorname{sen}(\pi)=0,\qquad \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1,\qquad \operatorname{sen}(2\pi)=0.
Também é útil a periodicidade do seno: \operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen}(x). Isso permite reduzir ângulos grandes subtraindo 2\pi.

Passo 3

Calcular a_{1}. Primeiro o argumento:
\theta_{1}=\frac{1\cdot\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.
Usando a tabela do passo anterior:
a_{1}=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.

Passo 4

Calcular a_{2} e a_{3}.
Para n=2:
\theta_{2}=\frac{2\pi}{2}=\pi, \qquad a_{2}=\operatorname{sen}(\pi)=0.
Para n=3:
\theta_{3}=\frac{3\pi}{2}, \qquad a_{3}=\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1.

Passo 5

Calcular a_{4} e a_{5}.
Para n=4:
\theta_{4}=\frac{4\pi}{2}=2\pi, \qquad a_{4}=\operatorname{sen}(2\pi)=0.
Para n=5 podemos usar periodicidade: \dfrac{5\pi}{2}=2\pi+\dfrac{\pi}{2}, então
a_{5}=\operatorname{sen}\!\left(\frac{5\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(2\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.

Passo 6

Resumo rápido e dica de prova: os cinco primeiros termos são 1,0,-1,0,1. Note o padrão periódico de período 4: à medida que n aumenta, os valores repetem seguindo os restos de n módulo 4. Isso é útil para calcular a_{n} rápido quando n é grande.

Resposta

1,0,-1,0,1

Exercícios relacionados