Determine se as sequências dadas são monótonas.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
) e pede que se determine se essa sequência é monótona.
Informações fornecidas relevantes:
Informações fornecidas relevantes:
- A fórmula do termo geral é ).
- Implicitamente
e .
O que se pede: dizer se a sequência é monótona e, em caso afirmativo, indicar se é crescente (ou estritamente crescente) ou decrescente (ou estritamente decrescente).
Passo 2
Definições importantes (para usar passo a passo):
- Uma sequência
) é estritamente crescente se, para todo
, vale ). - É crescente (não estrita) se
) para todo
. - É estritamente decrescente se
) para todo
).
Para testar monotonicidade de uma sequência dada por fórmula, um método direto é calcular a diferença ) e analisar o sinal dessa diferença para todo.
Passo 3
Vou aplicar o método da diferença de termos: calcular
) usando a expressão dada para
) e verificar se essa diferença é positiva, negativa ou nula para todo
. Esse método é prático aqui porque as fórmulas de
) e
) são simples e permitem simplificação algébrica direta.
Passo 4
Calculemos a diferença
):
Agora simplificar termo a termo:
Colocando em denominador comum
):
Passo 5
Analisando o resultado
):
- Para todo
com , o produto é positivo, logo ).
Portanto, para todovale ), o que implica que ) para todo . Em palavras: a sequência cresce ao passar de cada termo para o próximo — é estritamente crescente.
Exemplo numérico rápido para intuir:
),
),
); os termos aumentam.
Passo 6
Observação extra (útil na prova): além de ser estritamente crescente, a sequência é limitada superiormente por
) (pois
) e
)), e tende para
) quando
. Isso não era pedido, mas é uma consequência simples e muitas vezes pedida junto com monotonicidade.
Resposta
A sequência é estritamente crescente (monótona crescente).