Determine se as sequências dadas são monótonas.
a_{n}=4-\frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \(a_{n}=4-\frac{1}{n}) e pede que se determine se essa sequência é monótona.
Informações fornecidas relevantes:
  • A fórmula do termo geral é \(a_{n}=4-\frac{1}{n}).
  • Implicitamente n\in\mathbb{N} e n\ge 1.
    O que se pede: dizer se a sequência é monótona e, em caso afirmativo, indicar se é crescente (ou estritamente crescente) ou decrescente (ou estritamente decrescente).

Passo 2

Definições importantes (para usar passo a passo):
  • Uma sequência \(a_n) é estritamente crescente se, para todo n\ge1, vale \(a_{n+1}>a_n).
  • É crescente (não estrita) se \(a_{n+1}\ge a_n) para todo n.
  • É estritamente decrescente se \(a_{n+1}<a_n) para todo n\ge1).
    Para testar monotonicidade de uma sequência dada por fórmula, um método direto é calcular a diferença \(a_{n+1}-a_n) e analisar o sinal dessa diferença para todo n\ge1.

Passo 3

Vou aplicar o método da diferença de termos: calcular \(a_{n+1}-a_n) usando a expressão dada para \(a_n) e verificar se essa diferença é positiva, negativa ou nula para todo n\ge1. Esse método é prático aqui porque as fórmulas de \(a_{n+1}) e \(a_n) são simples e permitem simplificação algébrica direta.

Passo 4

Calculemos a diferença \(a_{n+1}-a_n):
a_{n+1}-a_n=\left(4-\frac{1}{n+1}\right)-\left(4-\frac{1}{n}\right).
Agora simplificar termo a termo:
a_{n+1}-a_n=-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}.
Colocando em denominador comum \(n(n+1)):
a_{n+1}-a_n=\frac{-n + (n+1)}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}.

Passo 5

Analisando o resultado \(\frac{1}{n(n+1)}):
  • Para todo n\in\mathbb{N} com n\ge1, o produto n(n+1) é positivo, logo \(\frac{1}{n(n+1)}>0).
    Portanto, para todo n\ge1 vale \(a_{n+1}-a_n>0), o que implica que \(a_{n+1}>a_n) para todo n. Em palavras: a sequência cresce ao passar de cada termo para o próximo — é estritamente crescente.
Exemplo numérico rápido para intuir: \(a_1=4-\frac{1}{1}=3), \(a_2=4-\frac{1}{2}=3{,}5), \(a_3=4-\frac{1}{3}\approx3{,}666\ldots); os termos aumentam.

Passo 6

Observação extra (útil na prova): além de ser estritamente crescente, a sequência é limitada superiormente por \(4) (pois \(-\frac{1}{n}<0) e \(4-\frac{1}{n}<4)), e tende para \(4) quando n\to\infty. Isso não era pedido, mas é uma consequência simples e muitas vezes pedida junto com monotonicidade.

Resposta

A sequência é estritamente crescente (monótona crescente).

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