Determine se as sequências são convergentes ou divergentes
f(n)=n^22 n+1 sen(pin)

Passo 1

Temos a sequência f(n)=n^22n+1sinl(pinr). O conteúdo é limite de sequência, usando expansão de Taylor de funções e propriedades de limites.

Passo 2

Analisa-se o fator racional dividindo numerador e denominador por n:
n^22n+1 = n2 + 1/n
Como ntoinfty, 1/nto0, então esse termo cresce como n/2.

Passo 3

Para sin(pi/n) usamos a aproximação de Taylor para argumentos pequenos: sin x sim x quando xto0. Como pinto0 temos sin(pi/n)sim pin.

Passo 4

Pelo produto de limites:
limntoinftyf(n) = limntoinftyn2cdotpin = pi2

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é pi2.

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