Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{3+2^{k}}{2^{k+2}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{3+2^{k}}{2^{k+2}}
e pede para encontrar a soma ou mostrar que a série diverge. Informações relevantes que temos: o somando geral é \dfrac{3+2^{k}}{2^{k+2}} para k=1,2,3,\dots. A pergunta é: essa soma infinita converge (tem valor finito) ou diverge?

Passo 2

Vamos olhar cuidadosamente para o termo geral e tentar simplificá‑lo algebraicamente. Separe a fração em duas parcelas:
\frac{3+2^{k}}{2^{k+2}}=\frac{3}{2^{k+2}}+\frac{2^{k}}{2^{k+2}}.

Passo 3

Simplifique a segunda parcela usando propriedades de potências. Como 2^{k}/2^{k+2}=2^{k-(k+2)}=2^{-2}, obtemos
\frac{2^{k}}{2^{k+2}}=\frac{1}{4}.
Logo o termo geral fica
\frac{3+2^{k}}{2^{k+2}}=\frac{1}{4}+\frac{3}{2^{k+2}}.

Passo 4

Agora examine o comportamento quando k\to\infty. A parte \dfrac{3}{2^{k+2}} é uma potência de 1/2 multiplicada por 3, portanto tende a 0 quando k\to\infty. Assim
\lim_{k\to\infty}\left(\frac{3+2^{k}}{2^{k+2}}\right)=\lim_{k\to\infty}\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{2^{k+2}}\right)=\frac{1}{4}+0=\frac{1}{4}.

Passo 5

Use o teste do termo geral (critério necessário de convergência): se uma série \sum a_k converge, então necessariamente \lim_{k\to\infty} a_k=0. Aqui o limite do termo geral não é 0 \tfrac{1}{4}), portanto a série não pode convergir. Em palavras simples: os termos não ficam pequenos o suficiente (não tendem a zero), então somá‑los indefinidamente não dá um número finito.

Passo 6

Complemento (interpretação alternativa, útil pra fixar): escrevendo a série como soma de duas séries,
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{2^{k+2}}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3}{2^{k+2}}.
A primeira soma é claramente divergente (soma infinita de constantes \tfrac{1}{4} diverge para +\infty). A segunda é uma série geométrica convergente, mas somar uma parte divergente com uma parte convergente ainda dá divergência. Isso reforça a conclusão anterior.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados