Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge:
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para encontrar a soma ou mostrar que a série diverge. Informações relevantes que temos: o somando geral é
para
. A pergunta é: essa soma infinita converge (tem valor finito) ou diverge?
Passo 2
Vamos olhar cuidadosamente para o termo geral e tentar simplificá‑lo algebraicamente. Separe a fração em duas parcelas:
Passo 3
Simplifique a segunda parcela usando propriedades de potências. Como
, obtemos
Logo o termo geral fica
Passo 4
Agora examine o comportamento quando
. A parte
é uma potência de
multiplicada por 3, portanto tende a
quando
. Assim
Passo 5
Use o teste do termo geral (critério necessário de convergência): se uma série
converge, então necessariamente
. Aqui o limite do termo geral não é
(é
), portanto a série não pode convergir. Em palavras simples: os termos não ficam pequenos o suficiente (não tendem a zero), então somá‑los indefinidamente não dá um número finito.
Passo 6
Complemento (interpretação alternativa, útil pra fixar): escrevendo a série como soma de duas séries,
A primeira soma é claramente divergente (soma infinita de constantes
diverge para
). A segunda é uma série geométrica convergente, mas somar uma parte divergente com uma parte convergente ainda dá divergência. Isso reforça a conclusão anterior.
Resposta
A série diverge.