Determine se a série abaixo converge ou diverge, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série alternante
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o teste da divergência (ou teste do termo geral): para que uma série infinita convirja, é necessário que o termo geral tenda a zero.
Passo 2
Denotemos o termo geral por
Para aplicar o teste da divergência, analisamos o limite de
quando
. Como a parte alternante
só muda o sinal, primeiro vemos o comportamento da parte positiva
Passo 3
Calculamos
Portanto
não existe como zero; em módulo temos
.
Passo 4
Como condição necessária para convergência de qualquer série é
, e aqui esse limite não é zero, concluímos que a série diverge pelo teste da divergência.
Resposta
A série diverge.