Determine se a série abaixo converge ou diverge, justificando sua resposta.
(1 0 p t s) sumn=1^+infty(-1)^n 2 n+1raiz3+4 n^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série alternante
sumn=1^+infty(-1)^n,2n+1raiz3+4n^2
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o teste da divergência (ou teste do termo geral): para que uma série infinita convirja, é necessário que o termo geral tenda a zero.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
un=(-1)^n,2n+1raiz3+4n^2
Para aplicar o teste da divergência, analisamos o limite de ,un, quando ntoinfty. Como a parte alternante ( -1)^n só muda o sinal, primeiro vemos o comportamento da parte positiva
an=2n+1raiz3+4n^2

Passo 3

Calculamos
limntoinftyan =limntoinfty2n+1raiz4n^2+3 =limntoinfty2+tfrac1nraiz4+tfrac3n^2 =22=1
Portanto
limntoinftyun =limntoinfty(-1)^nan
não existe como zero; em módulo temos lim|un|=1neq0.

Passo 4

Como condição necessária para convergência de qualquer série é limntoinftyun=0, e aqui esse limite não é zero, concluímos que a série diverge pelo teste da divergência.

Resposta

A série diverge.

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