Exercício 6. A função J1 definida por
J1(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+1n!(n+1)!2^2 n+1
é denominado função de Bessel de ordem 1. Determine o domínio desta função e encontre a sua derivada.

Passo 1

O enunciado define a função de Bessel de ordem 1 por uma série de potências
J1(x)=sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+1n!,(n+1)!,2^2n+1
e pede (a) o domínio de definição e (b) a derivada J1'(x). Para isso vamos usar o teste da razão para séries de potências e depois diferenciar termo a termo, justificando pela convergência uniforme em qualquer intervalo compacto.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão aos termos
an=(-1)^nx^2n+1n!,(n+1)!,2^2n+1
Calculemos
|an+1an| =|(-1)^n+1x^2n+3(n+1)!,(n+2)!,2^2n+3cdotn!,(n+1)!,2^2n+1(-1)^nx^2n+1| =x^2(n+2),2^2 longrightarrow 0 quando ntoinfty
Como o limite é 0 para todo x, a série converge para todo xinR.

Passo 3

Do teste da razão temos raio de convergência infinito, logo o domínio de J1 é
R

Passo 4

Série de potências com raio infinito pode ser diferenciada termo a termo em todo R. Assim,
J1'(x) =ddxsumn=0^infty(-1)^nx^2n+1n!,(n+1)!,2^2n+1 =sumn=0^infty(-1)^n(2n+1),x^2nn!,(n+1)!,2^2n+1

Resposta

Domínio: R.
Derivada:
J1'(x) =sumn=0^infty(-1)^n(2n+1),x^2nn!,(n+1)!,2^2n+1

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