Determine se a série abaixo converge ou diverge:
sumn=1^infty n^2+3n(n+3)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty n^2+3n(n+3)
converge ou diverge. O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas e, em particular, podemos usar o teste da divergência (ou teste do termo geral): se
limntoinftyanneq 0,
então a série sum an diverge.

Passo 2

Vamos calcular o limite do termo geral
an = n^2+3n(n+3) = n^2+3n^2+3n
Como os polinômios do numerador e denominador têm mesmo grau, o limite é o quociente dos coeficientes líderes:
limntoinftyan = limntoinftyn^2+3n^2+3n = 11 = 1

Passo 3

Como
limntoinftyan = 1 neq 0,
pelo teste da divergência concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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